İleri derecede Rusça, Kazakça ve İngilizce bilen Buğra Kavuncu, 2018 yılında İYİ Parti Genel İdare Kurulu üyeliğine seçildi. Parti Sözcülüğü görevini de üstlenen Buğra Kavuncu, 2018 yılının sonlarında İYİ Parti İstanbul İl Başkanlığı’na atandı.
Aralık ayında gerçekleşen ve üç adayın yarıştığı kongrede ise en çok oyu alarak seçilmiş il başkanı oldu. Ardından İYİ Parti’nin İstanbul’daki yerel seçim sürecini yürüttü ve 31 Mart ile 23 Haziran’da gerçekleştirilen seçimlerde Millet İttifakı adaylarının kazanması için çaba sarf etti. 26 Temmuz 2020 tarihinde gerçekleştirilen ve iki adayın yarıştığı kongreyi de delegelerin oylarıyla kazandı ve görevine 8 Ocak 2022’ye kadar devam etti.
Genel Başkan Başdanışmanlığı görevine getirilen Kavuncu, 2023 Cumhurbaşkanlığı seçiminde Kampanya sürecini yönetti.
Milletvekili temayül yoklamasında Parti Üyelerinin teveccühü ile İstanbul 2. Bölgede 1. seçilerek , milletvekili seçimlerinde İYİ Parti nin İstanbul 2. Bölge 1. Sıra Milletvekili olarak seçime girdi ve Milletvekili seçildi.
2024 Yerel Seçimlerinde İYİ Partinin İstanbul Büyükşehir Belediye başkan adayı olan KAVUNCU, İYİ Parti’nin Grup Başkan Vekili ve İstanbul 2. Bölge Milletvekili olarak Milletine hizmet etmeye devam etmektedir.